Тема уроку: "Множини. Операції над множинами"

Мета уроку:

- навчати учнів здійснювати операції над множинами: об’єднання, переріз, різниця множин.

- розвивати логічне і абстрактне мислення; розвивати знання учнів про множину та її елемен­ти, порожню множину, способи задання множин та про операції над множинами: об'єднання, переріз, різниця множин.

- виховувати культуру математичного запису та мови.

 

Тип уроку:засвоєння нових знань.

Хід уроку

  1. Організаційний момент
  2. Перевірка домашнього завдання
  3. Повідомлення теми і мети уроку

Сьогодні ми маємо познайомитися з поняттям множини, її елементів, навчитися виконувати операції над ними

  1. Вивчення нового матеріалу.

Під множиною в математиці розуміють зібрання, сукупність будь-яких предметів, об'єктів, об'єднаних між собою деякою за­гальною для них усіх ознакою. Множина, як математичне по­няття, не має означення. Це первинне поняття. Зміст його мож­на пояснити на різних прикладах. Так, можна говорити про множину учнів вашого класу, про множину книг в бібліотеці, про множину всіх людей на Землі тощо.

Коли в математиці говорять про множину, то об'єднують деякі предмети чи поняття в одне ціле — множину, що складається з цих предметів. Засновник теорії множин Георг Кантор (1845 — 1918) виразив це такими словами: «Множина є об'єднання об'єктів, що мислиться як єдине».

Предмети (об'єкти), з яких складається множина, називають­ся її елементами. Для позначення множин, застосовують великі букви А, В, С..., для позначення елементів — малі а, b, с...

Той факт, що елемент а є елементом множини А, записують так:a є А (читається: а є елементом множини А, або а належить А, або а міститься в А, або А містить а). Якщо елементx не є елементом множини А, то це записується так:x А (читається:x не є елементом множини А, абоxне належить А, абоx не міститься в А, або А не містить х).

Наприклад, якщо А — множина дільників числа 30, то 5 А, 10 А, 7 А, 12 А тощо.

Множину інколи можна задати перерахуванням її елементів. Наприклад, множина країн на земній кулі задається їх списком в географічному атласі, множина учнів вашого класу — їх спис­ком в класному журналі. Якщо множину задано списком, то вживають фігурні дужки, в які вміщують назви всіх елементів множини, розділеними комами. Наприклад, якщо А — множина дільників числа 30, то А = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Якщо В — множина букв слова «клас», то      В = {к, л, а, с}.

Не всі множини можна задати списком. Якщо множина містить нескінченно багато елементів, то таку множину не можна задати переліченням її елементів. Множина вважається заданою, якщо вказана властивість, яку мають всі її елементи і не мають цю властивість інші об'єкти. Така властивість називається характе­ристичною властивістю множини.

Множину елементів, що мають дану характеристичну влас­тивість позначають так: пишуть фігурні дужки, в них — позна­чення елемента множини, після нього — двокрапку, а потім — характеристичну властивість.

Наприклад, запис А = {х : -3 <x < 4} означає, що множина А складається із всіх чисел х, що задовольняють нерівності -3 <x< 4.

Множина, що має певну кількість елементів (існує число, що виражає кількість елементів даної множини) називається скінчен­ною. Якщо множина має нескінчену кількість елементів, її нази­вають нескінченною множиною.

Множину, яка не має жодного елемента, називають порож­ньою. Наприклад, множина точок перетину двох паралельних прямих; множина квадратних рівнянь що мають більше двох різних коренів.

Порожню множину позначають так: 0.

Якщо кожен елемент множини А міститься у множині В, то множина А називається підмножиною множини В. Це записуєть­ся так: А В (читається: А є підмножиною В, або А включаєть­ся до В, або А міститься в В, або В включає в себе А, або В містить А).

Наприклад: множина учнів вашого класу є підмножиною мно­жини учнів школи; множина мешканців Харкова є підмножи­ною мешканців України; множина зірок нашої Галактики є підмножиною множини всіх зірок всесвіту.

Кожна непорожня множина А має хоча б дві підмножини: порожню множину 0 і саму множину А.

Якщо А В то наочно це зображаютьза допомогою діаграми Ейлера (рис. 123). Дві множини А і В називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів. Це записується так: А = В.

Переріз множин

Перерізом множин А і В називається множина, яка містить усі спільні елементи множин А і В, і тільки їх.

Переріз множин А і В позначають так: А В. За допомогою діаграми Ейлера можна зобрази­ти переріз множин А і В (рис. 124). Розглянемо приклади:

 

а) Якщо А = {а, b, с,d}, В = {а, с, т, п, р}, то А В = {а, с}.

б) Якщо А — множина усіх прямокутників, В — множина усіх ромбів, С — множина всіх квадратів, то С = А В.

Об'єднання множин

Об'єднанням множин А і В називається множи­на, яка складається з усіх елементів, які містять­ся хоч в одній з двох множин А, В і тільки їх.

Об'єднання множин А і B позначається так:

AU В. За допомогою діаграми Ейлера можна зобразити об'єднання множин А і В (рис. 125).

 

Розглянемо приклади.

а) Якщо А = {a, b, c, d}, то В = {а, с, т, п, р}, тоAUВ = {а, b, с, d,m, n, р}.

б) Якщо А — множина усіх прямокутників, В — множина усіх квадратів, то А U В = А.

Різниця множин

Різницею множин А і В називається множина всіх таких елементів множини А, які не містять­ся у множині В.

Різниця множин А і В позначається так: А\В. За допомогою діаграми Ейлера можна зобрази­ти різницю множин А і В (рис. 126).

Розглянемо приклади.

а) Якщо А = {a, b, c, d}, В = {а, с, m, n, p}, то А\В = {b, d}, В\А = {m, п, р}.

б) Якщо А — множина учнів вашого класу, В — множина дівча­ток вашого класу, С — множина хлопчиків вашого класу, то А\В = С, А\С = В. У випадку, якщо В — частина множини А А), то А\B називається доповненням до В у множині А і позначають СAВ.

V. Сприймання і усвідомлення матеріалу про операції над множинами.

 

1. Нехай А – множина коренів рівняння х2 –5х + 6 = 0. Які із поданих записів вірні?

а) -5 А;   б) 6 А;     в) 2 А;     г) 3 А .

2. Задайте переліченням елементів множини:

а) А — множину голосних букв українського алфавіту; (А-Я)

б) В — множину коренів рівняння x4 - 4х2 = 0; (0; 2)

в) С — множину простих парних чисел; (2Z= {…, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, …})

г)D множину пір року. (Весна, літо, осінь, зима)

3. Задайте кілька елементів кожної множини:

а) А = {х : х = 2т, деm — ціле число};

б) В ={x : x = 2n + 1, деn ціле число};

в) С = {х : О < х < 1}.

3. Задано множини:

а) А — множина учнів вашого класу;

б) В — множина учнів вашої школи;

в) С — множина учнів України;

г) D — множина учнів країн земної кулі. Випишіть букви, що позначають вказані множини, в такому порядку, що кожна наступна буква позначала підмножину попередньої множини.

4. Задано множини:

а) множина А всіх трапецій;

б) множина В всіх прямокутників;

в) множина С всіх чотирикутників;

г) множинаD всіх квадратів;

д) множинаΗ всіх паралелограмів;

є) множина F всіх багатокутників.

Запишіть за допомогою знаку с ці множини в такому поряд­ку, що кожна наступна множина була б підмножиною попе­редньої.

5. Зобразіть за допомогою діаграми Ейлера: якщо А В і В С, то А С.

Виконання вправ на переріз множин

1. Дано: А = {а, b, с, 1, 3}, В = {b, d, б, 3}, С = {b, 1, 6}. Знайдіть:

а) А B;(b,3)     б) А С; (b,1,)     в) В С;(b)     г) А В С. (b)

2. Дано: А = {х: х2 – 5x + 6 = 0}, B = {x:x23х + 2 = 0}.

Знайдіть: А B. (2)

3. Доведіть: (А B) С=А (B С)=А В С.

4. Доведіть, якщо В А, то А В = В.

5. Доведіть: а) А А = А;   б)А = ;   в)А B=В А.

 

Виконання вправ на обєднання множин

1. Дано: А = {1, 3, 5, 7}, B= {1, 5, 7, 9}, C = {2, 4}. Знайдіть:

а) АUВ; (1, 3, 5, 7, 9)     6)AUC; (1, 2, 3, 4, 5, 7)     в)BUC;(1, 2, 4, 5, 7, 9)  

г)AUBUC.(1, 2, 3, 4, 5, 7, 9)

2. Дано: А = {x:x2 5x + 6 = 0}, В ={x:x23х + 2 = 0}. Знайдіть А U В. (1, 2, 3)

3. Доведіть:

а) АUА = А; б) АU = А;в) АUВ = ВUА;   г) (АUВ)UС = АU(ВUС).

4. Доведіть: якщо B А, тоAUB = А.

 

Виконання вправ на різницю множин

1. Дано:Μ == {a,b, с, d}, N = {b, d}. Знайдіть:

a) M\N; (a, b, c)     б) N\M; (0)       в) (Μ \ Ν)U (Ν \ Μ). (a, b , c)

2. Доведіть:           а) А \ А = ;       б) А \ = А.

VI. Підведення підсумків уроку.

  1. Що таке множина? (Сукупність будь-яких предметів, об'єктів, об'єднаних між собою деякою загальною для них усіх ознакою)

2. Що таке об’єднання множин? (Об'єднанням множин А і В називається множи­на, яка складається з усіх елементів, які містять­ся хоч в одній з двох множин А, В і тільки їх)

3. Що таке переріз множин? (Перерізом множин А і В називається множина, яка містить усі спільні елементи множин А і В, і тільки їх)

4. Що таке різниця множин? (Різницею множин А і В називається множина всіх таких елементів множини А, які не містять­ся у множині В)

5. Вкажіть серед вказаних нижче множин порожню:

а) множина коренів рівняння х2 - 4 = 0;

б) множина коренів рівняння х = х + 2;*

в) множина коренів рівняння х + 1 = 1 +x;

г) множина кіл, в яких діаметр менший від радіуса.*

6. Доведіть, що, якщо А В, а В С, то А С

VII. Домашнє завдання.

Опрацювати §41, № 734, № 738, № 742

№ 734

а) (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12);

б) (-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12).

№ 738

а) (-2, 0, 2);

б) 0;

в) 0.

№ 742

KUP = (1, 2, a, b, c, x);

KP = (a, c, 2)

K\P = (b)

Яндекс.Метрика