Урок на тему: "Степінь з довільним дійсним показником"

Мета:

-           навчити учнів розв’язувати задачі по даній темі, сформувати поняття степеня з довільним дійсним показником, розглянути його властивості; 

-           розвивати способи і прийоми мислення, індивідуальні здібності учнів, їх пізнавальні інтереси;

-           виховувати пізнавальну активність, культуру спілкування та діалогу.

Тип уроку:вивчення нового матеріалу.

Хід уроку

І. Організаційний етап (1 хв)

Перевірка готовності учнів до уроку. Налаштування на роботу.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності (1 хв)

Ми розпочинаємо вивчати один з найцікавіших розділів математики – «Показникова та логарифмічні функції». Він є дуже важливим, тому що задачі з цього розділу часто зустрічаються на ЗНО та в повсякденному житті.

ІІІ. Актуалізація опорних знань (6 хв)

Конкурс «Хто більше», групова форма роботи

Усні вправи написані на дошці , представники кожної групи по черзі називають відповіді.

  1. Подайте у вигляді степеня з раціональним показником: х-0,3:х-0,5;
  2. Обчисліть:  94327-43323;     253612;    24;     30.
  3. Чи має зміст вираз: 012;   -4-15;   -7-12

ІV. Повідомлення теми, мети та завдань уроку (1-2 хв)

У 10 класі ви ознайомилися з поняттям степеня додатного числа з раціональним показником. На сьогоднішньому уроці ми з’ясуємо, що являє собою степінь додатного числа з дійсним показником. Отже, тема уроку «Степінь з довільним дійсним показником»

V. Вивчення нового матеріалу (15 хв) 

        

     Почнемо з окремого випадку. З’ясуємо, що розуміють під степенем числа 2 з показником π.

     Ірраціональне число π можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу: π=3,1415…

     Розглянемо послідовність раціональних чисел

3;  3,1;  3,14;  3,141;  3,1415;…

Зрозуміло, що ця послідовність збігається до числа π.

Відповідно до попередньої послідовності побудуємо послідовність степенів з раціональними показниками:

23, 23,1, 23,14, 23,141, 23,1415, …

       Можна показати, що члени даної послідовності зі збільшенням номера прямують до деякого додатного числа. Це число і називають степенем числа 2 з показником π і позначають 2π.

      Аналогічно можна діяти в загальному випадку, означаючи зміст виразу bα, де b>0, де α - довільне дійсне число. Для числа α будують збіжну до нього послідовність раціональних чисел α1, α2, α3,… Потім розглядають послідовність bα1, bα2, bα3, … степенів з раціональними показниками. Ця послідовність збігається до додатного числа с, яке не залежить від вибору збіжної до α послідовності раціональних чисел α1, α2, α3,… Число  с називають степенем додатного числа b з дійсним показником α і позначають bα.

      Зрозуміло, що 1α=1 для всіх дійсних α, 0α=0.

При b<0 вираз bα, де α - ірраціональне число, не має змісту. Степінь з дійсним показником має ті самі властивості, що й степінь з раціональним показником. Отже, для х>0, у>0 і будь-яких дійсних α і β справедливі такі рівності:

ххβ=хα+β
х:хβ=хα-β

                                                       хα)=хαβ

                                                       хуα=хαуβ

                                                       хуα=хαуα

  Екскурс в історію       Термін “показник” для степеня ввів у 1553р. німецький математик (Спочатку монах, а потім- професор) Михайль Штифель (1487-1567).По-німецьки “показник”- Exponent, з латині exponere-“виставляти на показ”; exponens,exponentis “що виставляється на показ”, “той, що показується”. Штифель увів дробові й нульові показники. Позначення ж  для натуральних показників увів Рене Декарт (1637), авільно поводитися з такими самими дробовими й від’ємними показникамипочав з 1676 року Ісаак Ньютон. Степені з довільними  дійснимипоказниками, без будь-якого загального означення, розглядали Лейбніц таІоганн Бернуллі. 1679р. Лейбніц увів поняття експоненціальної (тт.показникової) функції для залежності  у=а х та експоненціальної кривоїдля графіка цієї функції. Коротке найменування “експонента” відображенов одному з позначень: а=ехра х. Через ехр(х) позначається конкретнаекспонента- з показником  а=е=2,71828..., яка введена в багато мовпрограмування.

V. Закріплення нового матеріалу (12-13 хв)

  1. Подати у вигляді степеня з основою 2.

8;  14;   1;   0,125;   0,25;   2;    132.

  1. Записати у вигляді степеня з дробовим показником

35242х.

  1. Записати у вигляді степеня з основою 3.

13;1; 3х127х+3.

  1. Записати у вигляді степеня з від’ємним показником

153;   162145х.

 

На дошці написані номери завдань з підручника, що плануються для роботи в класі. Сильніші учні мають можливість розв’язати вправи у своєму темпі й одержати наприкінці уроку оцінку. Учні, які потребують допомоги для

виконання перетворень раціональних виразів, працюють колективно, стежачи зав правильністю розв’язання вправ на дошці.

№ 16.1 – метод поступового ускладнення

Обчисліть значення виразу:

3(2+1)2:322=27

(   (337)3)3=189

365+1236-5=36

(12)2-√8=16

VІ.  Підсумки (2-3 хв)

Фронтальне опитування:

  1. Що являє собою степінь додатного числа з дійсним показником? (Число  с називають степенем додатного числа b з дійсним показником α і позначають bα
  2. При яких значення b, вираз bане має змісту? (При b<0 вираз bα, де α - ірраціональне число, не має змісту)
  3. Які властивості степеня з дійсним показником?

 

ххβ=хα+β
х:хβ=хα-β

                       хα)=хαβ

                                       

 хуα=хαуβ

       хуα=хαуα

 

 

VІІ.  Домашнє завдання (1-2 хв)

Опрацювати п. 16, виконати № 16.2, додатково № 16.5.

 

№ 16.2

Знайдіть значення виразу:

1)    53-12: 1523;

2)    266;

3)    5105-25.

№ 16.5

1)    1,81,8;

2)    π610;

3)    7-2;

4)    0,3π

 

Яндекс.Метрика