Урок на тему: "Паралелепіпед"

Мета: 

-                домогтися засвоєння означення паралелепіпеда та його елементів, властивостей паралелепіпеда, прямокутного паралелепіпеда, куба; сформувати вміння розв’язувати задачі на застосування цих понять та властивостей;

-                розвивати логічне мислення, увагу;

-                виховувати самостійність при розв’язувані задач.  

Тип уроку: засвоєння нових знань, формування вмінь.

 

        ХІД УРОКУ

І. Організаційний етап (1-2 хв)

Перевірка готовності учнів до уроку. Налаштування на роботу.

ІІ. Перевірка домашнього завдання (10-12 хв)

   Оскільки письмові вправи домашньої роботи аналогічні до розглянутих на попередньому уроці, то перевіряється лише правильність виконання обчислень.   Самостійна робота

   Варіант – 1

  1. Обчислити площу бічної поверхні призми, основою якої є паралелограм зі сторонами 8см і 22см, а висота призми дорівнює 15см.

Розв’язання:

Sбіч= H·P

P = 8+8+22+22 = 60 (см)

Sбіч= 15·60 = 900 (см2)

Відповідь: 900 см2.

  1. Основою прямої призми є прямокутний трикутник, катет якого 8см і прилеглий до нього гострий кут дорівнює 30˚. Діагональ бічної грані, що містить другий катет, нахилена до площини основи під кутом 45˚. Знайти площу повної поверхні призми.

Розв’язання:

С

С1

В1

А1

В

А

45°

30°

∆АВС – прямокутний трикутник. ВС = 8 см, ABA1 = 45˚, BCA = 30˚

AB = BC tg 30˚= 8/√3 (см)

АА1 = АВ

Sпов. = Sбіч+ 2Sосн

Sбіч= H·P

АС = ВС2+АВ2=64+832=163 (см)

Sбіч= (АВ + ВС + АС)·АА1 = (8+ 8/√3+16/√3)8/√3 = 64√3+64) (см2)

Відповідь: 641+√3√3см2

Варіант – 2

  1. Обчислити площу бічної поверхні призми, основою якої є прямокутник зі сторонами 9см і 6см, а висота призми  дорівнює 12см.

Розв’язання:

Sбіч= H•P

P = 9+9+6+6 = 30 (см)

Sбіч= 12•30 = 360 (см2)

Відповідь: 360 см2.

  1. Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник із кутом 120˚ при вершині і радіусом описаного кола 4см. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, утворює з площиною основи кут 45˚. Знайти площу повної поверхні призми.

 

Розв’язання:

АВС – рівнобедрений трикутник.

ВАС - 120°, С1АС = 45°

О


 

 

 

АО= ВО = СО = 4 см

Sпов. = Sбіч+ 2Sосн

Sбіч= H·P

R = a/2sinα

АВС = 30 °

АС = 4 ·2 sin30° = 8 (cм)

АВ = АС = 8 см, АН = ½ АС, АН = ½ 8 = 4 см

HC2 = AC2 – AH2, HC2 = 64 +16 = 80, HC = √80, BC = 2HC, BC = 2√80

Sосн = ½ а·h, Sосн = ½2√80·4 = 16√5 (cм2)

АС1С – рівнобедрений, АС = С1С = 8 (см)

Р = 8+8+2√80 = 16 + 8√5

Sбіч= 8·(16 + 8√5) = 128 +64√5

Sпов. =128 +64√5 +2·16√5=128+96√5 (см2)

Відповідь: 128+96√5 см2

ІІІ. Повідомлення теми, мети і завдань уроку (2-3 хв)

   Назвіть окремий вид призми, якщо цей многогранник добре відомий вам із курсу математики попередніх класів і є найпоширенішим із многогранників, які зустрічаються в навколишньому середовищі та побуті. Учні вказують на форму класної кімнати, яка є окремим видом призми – паралелепіпедом. Тоді створюю проблемну ситуацію: пропоную учням сформулювати строге означення паралелепіпеда та назвати всі його властивості. Після цього повідомляю, що вивчення означення паралелепіпеда та дослідження його властивостей є основним завданням уроку. Тема уроку «Паралелепіпед».

ІV. Актуалізація опорних знань (2-3 хв)

Фронтальне опитування

  1. Сформулюйте означення паралелограма. (Паралелогра́м — чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні)
  2. Сформулюйте властивість діагоналей паралелограма. (Діагоналі паралелограма перетинаються й у точці перетину діляться навпіл)
  3. Сформулюйте властивості протилежних сторін і кутів паралелограма. (У паралелограма протилежні сторони й кути рівні)
  4. У паралелограмі  АВСD кут В – тупий. Яка з діагоналей паралелограма більша? Відповідь обґрунтуйте.
  5. Наведіть формулу, яка пов’язує сторони і діагоналі паралелограма.
  6. Сформулюйте ознаку паралельності площин. (Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні)

V. Вивчення нового матеріалу (10 хв)

Паралелепіпед

Паралелепіпедом називають призму, основою якої є паралелограм.


Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називають протилежними. Протилежні грані паралелепіпеда рівні та лежать у паралельних площинах, протилежні ребра рівні та паралельні.

Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи, називають прямим паралелепіпедом. Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник називається прямокутним паралелепіпедом.

Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називаються його лінійними розмірами (вимірами).

У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Якщо бічні грані паралелепіпеда не перпендикулярні до площини основи, то паралелепіпед називають похилим.

Зверніть увагу!

Усі грані похилого паралелепіпеда – паралелограми (тому будь–яку грань паралелепіпеда можна вважати його основою).

Бічні грані прямого паралелепіпеда – прямокутники, а основи – паралелограми.

Теорема 22. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться навпіл.

Доведення: Нехай АВСDA1B1C1D1 – довільний паралелепіпед (рис 1). Його ребра АВ, DC, D1C1, A1B1 рівні та паралельні. Отже, чотирикутники АВС1D1 і DCB1A1  - паралелограми, їхні діагоналі перетинаються. Нехай діагоналі АС1 і ВD1 першого паралелограма перетинаються в точці О, а діагоналі DB1 і СА1 другого – в точці О1. Оскільки точкою перетину кожна діагональ паралелограма ділиться навпіл, то О і О1 – середини відрізків АС1 і DB1. Ці відрізки – діагоналі паралелограма АDC1B1, їхні середини збігаються. Таким чином середина кожної діагоналі АС1, ВD1, DB1 – одна й та сама точка О. А це і треба було довести.

Наслідок. Точка перетину діагоналей паралелепіпеда є центром його симетрії.

Властивості паралелепіпеда подібні до властивостей паралелограмів.

12 ребер паралелепіпеда розбиваються на четвірки паралельних між собою ребер однакової довжини і за основу паралелепіпеда можна вибрати будь-які протилежні грані. За такого вибору основ прямий паралелепіпед може стати похилим.

Форму прямокутного паралелепіпеда мають цеглини, бруски, контейнери, ящики для овочів і фруктів, деякі упаковки продуктів харчування, ліків тощо.

VІ. Формування первинних вмінь (12 хв)

       Виконання усних вправ

  1. Назвіть які–небудь предмети побуту, які мають форму похилого паралелепіпеда. Чому такі предмети зустрічаються рідко?
  2. Чи можна, розглядаючи одну й ту саму модель паралелепіпеда, стверджувати, що він прямий і що він похилий?(Так)  Проілюструйте відповідь на моделі паралелепіпеда.

       Виконання письмових вправ

  1. Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 4см і 6см, а кут між ними дорівнює 60˚. Діагональ більшої бічної грані дорівнює 10см. Обчислити площу повної поверхні паралелепіпеда.  

B1

C1

D1

А1

D

В

С

А


Розв’язання:

 

Нехай АВСDA1B1C1D1 – даний прямий паралелепіпед, тоді:

АВ = 4 см, АD = 6 см, ВАD = 60°, АD1 = 10 см.

∆АDD1 –єгипетський =>DD1 = 8 см

SАВСD = SA1B1C1D1=AB∙AD ∙sin60°=24·32=123 (см2)

SA1АВВ1= SD1DCC1=AB·DD1=32 (см2)

SA1АD1D=SВВ1CC1=AD·DD1=6·8=48 (см2)

Sповн.=2SABCD+SA1АВВ1+SA1АD1D=2123+32+48=243+80 (см2)

Відповідь: 243+80 см2

2. У прямокутному паралелепіпеді діагональ основи дорівнює dі утворює зі стороною основи кут α. Через цю сторону і протилежну їй сторону верхньої основи проведено площину, яка утворює із площиною основи кут β. Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Розв’язання:

А

В

С

D

β

α

d

 

А1

D1

C1

B1

 

 

 

АВСDA1B1C1D1 – прямокутний паралелепіпед, BD = d,  BDC = α. Кут, який площина A1B1CD утворює з площиною основи, - це B1CB. За умовоюB1CB = β. Бічна поверхня

Sб = 2 (ВС + СD)·B1B

У ∆ВСD: CD = d cosα; BC = d sin α.

У∆BB1C(B = 90°):BB1 = BC tg B1CB = d sin α tg α. Тоді

Sб = 2 (d cosα + d sin α)· d sin α tgβ = 2 d2 22cosα+22sinα·22sinαtgβ=22d2sinπ4sinα tg β.

Відповідь: 22d2sinπ4sinα tg β.

VII. Підсумки уроку (2-3 хв)

       Фронтальне опитування:

  1. Сформулюйте означення паралелепіпеда. (Паралелепіпедом називають призму, основою якої є паралелограм)
  2. Сформулюйте основні властивості паралелепіпеда.

1)Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

2) Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і точкою перетину діляться пополам.

  1. Який паралелепіпед називають похилим; прямим? (Якщо ж бічні ребра паралелепіпеда не перпендикулярні до площини основи, то паралелепіпед називають похилим; паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площин основи, називають прямим паралелепіпедом)
  2. Укажіть, які з наведених тверджень правильні:

а) бічне ребро паралелепіпеда перпендикулярне до діагоналей основи;

б) у прямому паралелепіпеді бічне ребро перпендикулярне до сторін основи;

в) усі діагоналі прямого паралелепіпеда рівні.

VIII. Домашнє завдання (1-2 хв)

Вивчити зміст понять розглянутих на уроці. Виконати вправи:

  1. Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 3 см і 4 см і утворюють кут 120°, бічне ребро дорівнює 2  см. Знайдіть довжини діагоналей паралелепіпеда.
  2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб із гострим кутом 60° і більшою діагоналлю, що дорівнює 62 см, менша діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.

ІХ. Оцінювання та мотивація (1 хв)

Оцінюю та мотивую учнів

 

Яндекс.Метрика