Урок на тему: "Піраміда. Розвязування задач"

Мета:

  • продовжити роботу над засвоєння учнями поняття піраміди та її елементів, доповнити знання учнів через ознайомлення з окремими видами пірамід, а саме:

–     пірамідами, в яких висота належить одній або двом бічним граням;

–     пірамідами, в яких основою висоти є центр кола, описаного навколо піраміди;

–     пірамідами, в яких основою висоти є центр кола, вписаного в основу піраміди.  

  • розвивати уміння учнів обчислювати площі бічної та повної поверхонь піраміди;
  • виховувати наполегливість, самостійність, старанність у навчанні.

Тип уроку: комбінований.    

                                                               ХІД УРОКУ

І. Організаційний етап (1-2 хв)

Перевірка готовності учнів до уроку. Налаштування на роботу.

ІІ. Перевірка домашнього завдання (3-4 хв)

   Перевірку засвоєння учнями теоретичного матеріалу проводимо у формі фронтальної бесіди.

  1. Сформулюйте означення піраміди (основи, вершини, бічних граней, ребер, висоти). (Пірамідою називають многогранник, у якого одна з граней (яку називають основою) - довільний многокутник, інші грані - трикутники зі спільною вершиною.)
  2. Чи існує піраміда, всі грані якої рівні? (Так)
  3. Чи існує піраміда, яка не має жодного діагонального перерізу? (Так)
  4. Чи існує піраміда, основа висоти якої розміщена поза площиною основи піраміди? (Так)

ІІІ. Формулювання мети й завдань уроку (3-4 хв)

     Задача. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 6см і 8см. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 13см. Обчисліть висоту піраміди.

   Для того, щоб знайти довжину висоти піраміди, необхідно її побудувати. Виникає питання: де лежить основа висоти піраміди? Отже, завданням уроку є вивчення окремих видів піраміди з метою визначення положення висоти (або основи висоти) піраміди.

ІV. Актуалізація опорних знань (5-7 хв)

Фронтальне опитування

  1. Сформулюйте ознаки рівності прямокутних трикутників.

(Якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника відповідно рівні гіпотенузі й катету іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

Якщо катети одного прямокутного трикутника відповідно рівні катетам іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

Якщо катет і протилежний до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні катету і протилежному до нього гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.)

  1. Сформулюйте теорему про три перпендикуляри. (Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до похилої)
  2. Сформулюйте означення кута між прямою і площиною. (Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою і її проекцією на площину)
  3. Сформулюйте означення кута між площинами. (Кутом між двома площинами називається кут між прямими, які утворюються при перетині даних площин третьою, яка проведена перпендикулярно до прямої перетину перших двох площин)
  4. Скориставшись рисунком, укажіть:

а) кут між бічним ребром АЕ і площиною основи піраміди; (АЕС)б) кут між площиною СFЕ та основою піраміди. (FED)

V. Доповнення знань (8 -10 хв)

Окремі види пірамід

  1. Якщо в піраміді одна бічна грань перпендикулярна до площини основи, то висота піраміди належить площині цієї грані та є перпендикуляром, проведеним із вершини піраміди до прямої перетину площини цієї грані з площиною основи.

Зауваження. Основа висоти піраміди може лежати як на стороні основи піраміди, так і на її продовженні.

  1. Якщо дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, то пряма їх перетину містить висоту піраміди.
  2. Якщо в піраміді виконується принаймні одна з умов:

1)  усі бічні ребра рівні;

2)  усі бічні ребра утворюють однакові кути з площиною основи;

3)  усі бічні ребра утворюють однакові кути з висотою піраміди.

     Зауваження. Має місце обернене твердження.

  1. Якщо висота лежить всередині піраміди і виконується принаймні одна з умов:

1)  усі двогранні кути при основі піраміди рівні;

2)  усі висоти бічних граней, проведені з вершини піраміди, рівні;

3)  усі висоти бічних граней, проведені з вершини піраміди, утворюють рівні кути з висотою піраміди;

4)  висота піраміди утворює однакові кути з площинами всіх бічних граней,

то основою висоти піраміди є центр кола, вписаного в основу піраміди

VІ. Формування вмінь (15 хв)

       Виконання усних вправ

  1. Висота піраміди дорівнює 6см, а бічні ребра рівні й дорівнюють 10см. Чому дорівнює радіус кола, описаного навколо основи піраміди? (Відповідь. 8см).
  2. Висота піраміди дорівнює 5см, а всі бічні грані нахилені до площини основи під кутом 45˚. Чому дорівнює радіус кола, вписаного в піраміду? (Відповідь. 5см).
  3. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 6см і 8см. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 13см. Обчислити висоту піраміди. (Відповідь. 12см).

Виконання письмових вправ

  1. Основою трикутної піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною 1см. Одне з бічних ребер піраміди перпендикулярне до площини основи, а протилежна до цього ребра бічна грань утворює з площиною основи кут 60˚. Знайти висоту піраміди. (Відповідь. 1,5см).
  2. Знайти висоту, радіус кола, описаного навколо основи, гострий кут нахилу бічного ребра до площини основи та гострий кут між площинами суміжних бічних граней правильної чотирикутної піраміди, довжина бічного ребра якої дорівнює 10см, а площа основи 25см².

Розв’язання. На рисунку зображена правильна чотируктна піраміда ABCDE, площа основи якої дорівнює 25 см², а довжина бічного ребра 10см.

  1. Якщо плоша квадрата BCDE дорівнює 25 см², то його сторона дорівнює 5см. Радіус кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині діагоналі цього квадрата, тобто (см).
  2. Розглянемо трикутник АОС, в ньому , АС=10 см, см

 

(см). Таким чином, висота піраміди дорівнює см.

Кут нахилу бічного ребра піраміди до площини основи знайдемо як , тоді .

  1. Кут між сусідніми бічними ребрами АС і AD піраміди ABCDE співпадає з кутом CАD при вершині рівнобедреного трикутника ACD – однієї з бічних граней піраміди. Знайдемо косинус кута CАD за наслідком з теореми косинусів: , тоді .
  2. Двогранний кут між площинами суміжних бічних граней ADC і ADE вимірюється своїм лінійним кутом. Побудуємо його. Проведемо перпендикуляр з точки С до прямої AD у площині ADC та перпендикуляр з точки Е до прямої AD у площині ADE. Тоді буде лінійним кутом двогранного кута між площинами суміжних бічних граней ADC і ADE. Знайдемо .
  3. Методом допоміжної площі обчислимо висоту трикутника ADC:

,

звідси (см).

З рівності (за трьома сторонами) трикутників ADC і ADE випливає рівність .

Обчислимо з трикутника, використовуючи наслідок з теореми косинусів:

, оскільки знайдена величина від’ємна, то тупий. Гострий кут між площинами суміжних бічних граней ADC і ADE дорівнюватиме .

Відповідь:

Радіус кола, описаного навколо основи піраміди дорівнює см;

кут нахилу бічного ребра піраміди до площини основи дорівнює ;

висота піраміди дорівнює см;

кут між сусідніми бічними ребрами дорівнює ;

гострий кут між площинами суміжних бічних граней дорівнює .

VII. Підсумки уроку. (2-3 хв)

       Дайте відповідь на запитання:

  1. Де розміщена основа висоти піраміди, якщо:

а) усі бічні ребра піраміди рівні або нахилені до площини основи під одним кутом; (Основою висоти є центр кола, вписаного в основу піраміди)

б) усі бічні ребра утворюють однакові кути з висотою піраміди; (Основою висоти є центр кола, вписаного в основу піраміди)

в) усі бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом або висоти всіх бічних граней рівні; (Основою висоти є центр кола, вписаного в основу піраміди)

г) висота піраміди утворює однакові кути з бічними гранями або висотами бічних граней, проведеними із вершини піраміди; (Основою висоти є центр кола, вписаного в основу піраміди)

д) одна бічна грань перпендикулярна до площини основи; (Висота піраміди належить площині цієї грані та є перпендикуляром, проведеним із вершини піраміди до прямої перетину площини цієї грані з площиною основи)

е) дві суміжні бічні грані перпендикулярні? (пряма їх перетину містить висоту піраміди)

VIII. Домашнє завдання (1-2 хв)

Вивчити матеріал, розглянутий на уроці.

Виконати вправи:

  1. Основою трикутної піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною 7 см. Одне з бічних ребер піраміди перпендикулярне до площини основи, а висота бічної грані, протилежної до цього ребра, дорівнює 4 см. Знайдіть висоту піраміди.
  2. Основою піраміди є прямокутний трикутник із кутом 60°. Бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом 45°. Висота піраміди дорівнює 10 см. Знайдіть катет, протилежний поданому куту.

ІХ. Оцінювання та мотивація (1 хв)

Оцінюю та мотивую учнів

Яндекс.Метрика