Урок на тему: "Нерівність трикутників"

Мета:

-  домогтися засвоєння змісту теореми, що виражає нерівність трикутника та схему її доведення та наслідку з теореми; виробляти вміння відтворювати застосувати теорему для розв’язування задач;

-  розвивати самостійні навички в роботі, здібності – на основі розумових дій  і операцій  та розвивати математичну мову;

-  виховувати охайність і працьовитість, активність та вміння раціонально використовувати робочий час.

 

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Обладнання: Геометрія:підруч. для 7 кл. загальноосвіт. навч. закладів /  Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Владімірова; набір креслярських інструментів, роздрукований кросворд.

Хід уроку:

І. Організація учнів до уроку. (2 хв)

Привітання, перевірка присутніх, перевірка готовності учнів до уроку.

ІІ. Актуалізація опорних знань. (7 хв)

  1. Перевірка домашнього завдання.

№294 Знайдіть кути трикутника, якщо вони пропорційні числам:

в) 12, 12, 23.

Розв’язання:

а) Нехай одиничний кут х, тоді кути трикутника 12х, 12х, 23х. Сума кутів трикутника 180°. Складемо рівняння:

 

12х+ 12х+ 23х =180°;

123х =180°;

х=180°:53;

х=180°35;

х=108°

12х =54°;

12х =54°;

23х=72°.

 

Відповідь: кути трикутника 54°, 54°, 72°.

№ 306. Знайдіть міри зовнішніх кутів ABC, якщо:

б) B=120°, C=40°,

г) A+C=95°, B+C=135°.

б) Дано:  ABC

B=120°,

                              C=40°.

Знайти: ∠1, ∠2, ∠3- ?

Розв’язання:

∠3=∠ABC+ACB за теоремою, отже, ∠3=120°+40°=160°.

∠1+∠ABC=180° і  ∠2+∠ACB=180°.

Тоді ∠1=180°-120°=60°∠2=180°-40°=140°.

Відповідь: 60°, 140°, 160°.

г) Дано:  ABC

A+C=95°,

              ∠B+C=135°.

Знайти: ∠1, ∠2, ∠3- ?

Розв’язання:

Оскільки,  A+B+C=180° (за теоремою про суму кутів трикутника),  а за умовою A+C=95°,  і B+C=135°. Отже B=180°-95°=85°, а A=180°-135°=45°, C=95°-45°=50°.

За теоремою 1=∠BAC+∠BCA=45°+50°=95°;

∠2=∠ACB+∠CBA=50°+85°=135°; 

∠3=∠CAB+∠CBA=45°+85°=130°.

Відповідь: 95°, 135°, 130°.

ІІI. Повідомлення теми, мети уроку. (2 хв)

Протягом кількох уроків ми з вами вивчаємо різні види трикутників. Сьогодні ми продовжуємо вивчати трикутники і познайомимося з основними нерівностями трикутників.

 

ІV.  Пояснення нового матеріалу. (12 хв)

Теорема 16. У кожному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута – більша сторона.

Доведення:

1)                Нехай у трикутнику ABC сторона AB більша від AC. Покажемо, що кут C більший від кута B. відкладемо на стороні AB відрізок AK, що дорівнює AC. оскільки відкладений відрізок коротший від AB, то точка K лежить між A і B, а ∠ACK є частиною кута ACB. Кути AKC і ACK рівні, тобто ∠1=∠2, бо ∆KAC рівнобедрений. ∠1 більший за ∠B, бо є зовнішнім для трикутника BKC. Отже, весь кут C більший за ∠2, а ∠2 більший за ∠B. цим доведено, що коли в трикутнику AB>AC, то ∠C>∠B.

2)    Нехай у ∆ABC кут C більший за кут B.

Доведемо, що тоді AB>AC.

Сторони AB і AC не можуть дорівнювати одна одній, бо інакше даний трикутник був би рівнобедреним і один з його кутів при основі не міг би бути більшим від другого.

Не може сторона  AB бути і меншою за AC, бо тоді кут C був би меншим за кут B. А оскільки сторона AB не дорівнює AC і не менша від AC, то вона більша від AC. Теорему доведено.

Наслідки:

  1. У кожному прямокутному трикутнику гіпотенуза довша за кожний катет.
  2. Перпендикуляр, проведений з будь-якої точки до прямої, коротший від будь-якої похилої, проведеної з тієї самої точки до тієї ж прямої.
  3. Проекція похилої завжди менша від похилої.

Теорема 17. Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін.

Доведення:

Розглянемо довільний ∆ABC і покажемо, що  AB<BC+CA.

Для доведення відкладемо на продовженні сторони AC відрізок CP, що дорівнює BC, і розглянемо трикутник ABP. Кути CBP і CPB рівні, бо CB=CP. Кут ABP більший за ∠P. А оскільки проти більшого кута лежить більша сторона, то AB<AP. Врахувавши, що

 AP=AC+CP=AC+CB, маємо: AB<AC+CB.

Так само можна показати, що BC<CA+AB, AC<CB+BA. Теорему доведено.

З теореми випливає наступне твердження:

Якщо точки  A,B,C не лежать на одній прямій, то правильні нерівності:

AB<BC+CA, BC<CA+AB, AC<CB+BA.

Кожну із цих нерівностей називають нерівністю трикутника.

 

 V.Сприймання та первинне усвідомлення нового матеріалу (15 хв)

Виконання усних вправ

№474. Дивлячись на малюнок, порівняйте сторони AB і BC трикутника ABC, якщо:

1)    ∠A<∠C (AB>BC)

2)    ∠A>∠C (AB<BC)

3)    ∠A=∠C (AB=BC)

4)    ∠A≤C (AB≥BC)

5)    ∠A=60°, ∠B=70° (AC>BC)

6)    ∠B=80°, ∠C=40° (AC>AB)

Робота біля дошки:

№ 477. Яка із сторін  ∆ABC найбільша і яка найменша, якщо:

  1. A=45°, ∠B=60°,
  2. ∠A=50°, ∠B=100°,
  3. ∠B=75°, ∠C=90°.

Розв’язання:

1)                C=180°-45°+60°=75°, отже за теоремою найбільша сторона AB, найменша – BC.

2)                C=180°-100°+50°=30°, отже за теоремою найбільша сторона AC, найменша – AB.

3)                ∠A=180°-75°+90°=15°, отже за теоремою найбільша сторона AB, найменша – BC.

№486. Доведіть, що кожна сторона трикутника довша від піврізниці інших його сторін.

Доведення:

Нехай сторони трикутника ,b, c. Доведемоc>a-b2. Затеоремою c<a+b, a+b>a-b, a-b>a-b2, отже, c>a-b2.

№ 490. Двісторони трикутника дорівнюють 98 см і 28 см. Яким може бути периметр цього трикутника?

Розв’язання:

Нехай третя сторона трикутника a, тоді 98-28<a<98+28.

70<a<126, тоді  98+28+70<P<98+28+126,

188<P<244.

Відповідь: периметр лежить в межах 188<P<244.

№491. Сума двох рівних сторін трикутника становить 0,6 периметра. Чи правильно, що кут між рівними сторонами більший від 60° ?

Розв’язання:

Так, тому що кожна з рівних сторін становить 0,3•Р (Р – периметр), а третя сторона 0,4•Р. вона найбільша, отже, кут, що лежить напроти неї, тобто кут між рівними сторонами, більший за  60° .

VI. Підсумок уроку. (3 хв)

  1. Чи правильно, що в трикутнику проти меншої сторони лежить менший кут, а проти меншого кута – менша сторона? (Так)
  2. Чи правильно, що кожна сторона трикутника менша від суми двох інших сторін? (Так)
  3. Чи правильно, що в трикутнику проти більшої сторони лежить менший кут, а проти більшого кута – менша сторона? (Ні)
  4. Чи правильно, що кожна сторона трикутника більша від суми двох інших сторін? (Ні)

VII. Домашнє завдання.  (2 хв)

§16. №478,  487, 488.

VIIІ. Оцінювання та мотивація. (2 хв)

Оцінюю та мотивую учнів

Яндекс.Метрика